Preuve partielle
Il s'agit en fait d'éliminer les points de discontinuité, et de se convaincre que l'équation est "bien posée" sur ${\cal D} \backslash \left\{(0,-1)\cup(0,1)\right\}$.
On veut rester aussi proche que possible de la notion de solution de viscosité, mais celle-ci s'applique à un domaine fermé (dans le cadre des solutions de viscosité, l'EDP dans l'ouvert et la condition de Dirichlet sur le bord sont à considérer comme une seule équation sur le domaine fermé).
On tente donc d'utiliser une astuce topologique, en envoyant ces points à l'infini (par un changement de variable, ou une courbure du domaine en ajoutant une dimension supplémentaire), on obtient un domaine fermé, non-borné mais qui ne contient plus les points de discontinuité problématiques.
Problème simplifié avec condition au bord discontinue
Dans un premier temps, on ne considère que l'équation (9) à condition au bord discontinue, sur le domaine ${\cal D}_2$ (et par symétrie on ne considère que la moitié droite du problème, pour $x_1>0$). Considérons un changement de variable en écrivant :
(1)
\begin{align} V\left(x_1,x_2\right) = \tilde{V}\left(\frac{1}{x_1}, x_2\right) \end{align}
$\tilde{V}$ est définie sur le domaine $\tilde{\cal D}_2 = \left\{ \left. x=(\tilde{x}_1,x_2) \in I\!\!R^2 \right| x_2\in]-1,1[\mbox{ et }\tilde{x}_1 \in \left]\frac{1}{\sqrt{2-x^2_2}} ,\frac{1}{\sqrt{1-x^2_2}} \right[ \right\}$.
Sur ce domaine les coefficients de la diffusion sont localement lipschitziens :
(2)
\begin{align} d{\tilde X}_t= \left(\begin{array}{cc} -{x_1^2} & 0 \\ 0 & \alpha_t \end{array}\right) dW_t, \end{align}
et la condition au bord est continue.
Les résultats classiques s'appliquent donc pour ce problème et la fonction $\tilde{V}$ est ainsi l'unique solution de viscosité de l'équation d'HJB associée, de plus elle est continue.
Revenant à $V$, ceci signifie qu'elle est continue en dehors des points $(0,-1)$ et $(0,1)$, et que l'équation d'HJB est bien posée même si l'on retire ces points du domaine.
Pour compléter la preuve il faudrait montrer que $V=0$ est l'unique solution de viscosité en restreignant l'équation au domaine ${\cal D}_1 \cup \Gamma$.
Problème initial avec dégénerescence au bord
On construit une surface ${\cal S}$ dans $I\!\!R^3$ par la formule :
(3)
\begin{align} {\cal S} = \left\{ (x,y,z) \in I\!\!R^3 \left| (x,y)\in {\cal D}\mbox{ et } z=h(x,y) \right. \right\}, \end{align}
où la fonction $h$ explose aux points $(0,-1)$ et $(0,1)$, par exemple :
(4)
\begin{align} h(x,y) = \frac{1}{x^2 + (y^2-1)^2}. \end{align}
On peut définir une fonction $\tilde{V}$ sur $\cal F$ telle que :
(5)
\begin{align} V\left(x_1, x_2\right) = \tilde{V}\left(x_1,x_2,h(x_1,x_2)\right) \end{align}
(6)
\begin{align} d{\tilde X}_t= \frac{1}{2}\left(h_{xx} + h_{yy}. \alpha^2_t \right)dt+ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_t & 0 \\ h_x & h_y.\alpha_t & 0 \end{array}\right) dW_t, \end{align}