Preuve partielle
Etape 1
Il est facile de voir que $V(x_1,x_2)=0$ dans le domaine ${\cal D}_1 = {\cal D} \cap \left( \left\{x_2<-1\right\} \cup\left\{x_2>1\right\}\right)$. En effet par construction de $V$ on a $V\geq 0$ et cette valeur peut être atteinte sur ${\cal D}_1$ pour le contrôle $\alpha_t=0$ (remarquer que partant de ${\cal D}_1$ , la trajectoire $X^\alpha$ ne quitte pas ${\cal D}_1$ avant ${\cal D}$).
Etape 2
Au bord de ${\cal D}_1$ dans le domaine ${\cal D}$, i.e. dans $\Gamma = {\cal D}\cap \left( \left\{x_2=-1\right\} \cup\left\{x_2=1\right\}\right)$, on peut se convaincre que $V$ est nulle.
Partant de $\Gamma$, avec le contrôle $\alpha_t=1$, la trajectoire $X^\alpha$ est un mouvement brownien 2-dimensionnel, le temps d'atteinte de ${\cal D}_1$ est presque sûrement nul. Ainsi, partant de $\Gamma$, le contrôle
(7)
\begin{align} \alpha_t = 1\mbox{ pour }t\leq\tau_{\Gamma} \mbox{ puis } \alpha_t = 0 \end{align}
pour $\tau_{\Gamma}$ premier temps d'atteinte de ${\cal D}_1$ (a priori n'est pas un temps d'arrêt car pas ${\cal F}_t-\mbox{mesurable}$) permet d'atteindre presque sûrement le bord extérieur $|x|=2$ avant le bord intérieur, d'où $V=0$.
$V$ n'est donc pas continue en $(0,1)$ et $(0,-1)$ où elle est définie à la valeur $1$ en (3).
Etape 3
Pour traiter le cas du domaine ${\cal D}_2 = {\cal D} \cap \left\{x_2\in[-1,1]\right\}$, on peut utiliser le résultat préliminaire intuitif suivant, dans l'esprit du principe de la programmation dynamique de Bellman (dont une preuve probabiliste simple restait à trouver en 2002).
(8)
\begin{align} \mbox{ sur }{\cal D}_2\mbox{, }V(x) = \inf_{\alpha} I\!\!E_{\left\{X_0=x\right\}} \left[ V\left(X_{\tau_2}\right)e^{-\lambda \tau_2} } \right], \end{align}
où $\tau_2$ est le premier temps de sortie de l'ouvert ${\cal D}_2$.
Puisque $V$ est déjà connue sur $\partial {\cal D}_2$, on en déduit :
(9)
\begin{align} \mbox{ sur }{\cal D}_2\mbox{, }V(x) = \inf_{\alpha} I\!\!E_{\left\{X_0=x\right\}} \left[ e^{-\lambda \tau_2} 1\!\mbox{I}_{\left\{ \left|X_{\tau_2}\right|=1 \right\} } \right]. \end{align}
On a ainsi fait le lien avec un problème de contrôle optimal dont la condition au bord de type Dirichlet discontinue (voir illustration ci-dessous ; on peut remarquer que le problème se décompose en deux problèmes indépendants et symétriques, pour $x_1<0$ et $x_1>0$).
Il suffit maintenant de se convaincre que le contrôle optimal est identiquement égal à $1$ sur ${\cal D}_2$. La composante horizontale de la trajectoire $X$ est un mouvement brownien, qui engendre une probabilité non nulle d'atteindre le bord intérieur (d'où une valeur finale strictement positive). La stratégie optimale est de maximiser la probabilité d'atteindre $\Gamma$ qui donnerait une valeur finale nulle. C'est clairement la valeur maximale $\alpha=1$ qui maximise cette probabilité.