Triskels

Wikipedia : Triskel, Spirale logarithmique, Art celte, Entrelacs et graphes

Cours de dessin d'entrelacs celtes

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Introduction

Un triskel (ou triskell, ou triskèle) est de manière générale un symbole avec trois protubérances (généralement des spirales) évoquant une symétrie cyclique. Nous allons épurer au maximum cette définition pour obtenir un prototype de triskel mathématique, la forme la plus simple satisfaisant ces critères : on va simplement coller 3 spirales, de manière symétrique, et de sorte que le recollement soit lisse.

On va choisir une spirale logarithmique dextrogyre comme élément de base, qui se décrit par une équation sous forme paramétrique :

(1)
\begin{align} z(t) = c + a e^{\lambda t + 2i\pi t} \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ pour } t \in [-\infty, t^{max}] \end{align}

  • le paramètre $t$ est exprimé en nombre de tours. Le point $t=-\infty$ représente le centre de la spirale, et on arrête la trajectoire à une valeur $t^{max}$ (à déterminer pour que les spirales se recollent bien).
  • $\lambda\in{\mathbb R}$ représente la vitesse à laquelle la spirale s'enroule sur elle-même : ce paramètre détermine la "forme" de la spirale, étroite ou large. Un cas particulier bien connu est celui de la spirale d'or, ou spirale dorée, donnée par $\lambda = \frac{\log(\varphi)}{4}$$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or.
  • Les nombres complexes $c$ (le centre de la spirale) et $a$ (facteur d'échelle complexe) n'ont pas d'impact sur la forme de la spirale, les modifier n'a comme effet que translation, rotation et homothétie (transformations linéaires).

Un triskel, centré en 0, formé de 3 spirales tournées de 120°, se décrit donc par une équation de la forme :

(2)
\begin{cases} z_1(t) = c + a e^{\lambda t + 2i\pi t} \\ z_2(t) = e^{\frac{2i\pi}{3}}\left( c + ae^{\lambda t + 2i\pi t}\right) \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ pour } t \in [-\infty, t^{max}]\\ z_3(t) = e^{\frac{-2i\pi}{3}}\left(c + ae^{\lambda t + 2i\pi t}\right) \\ \end{cases}

Il reste à déterminer $a$, $c$ et $t^{max}$ de sorte que les spirales se recollent sans faire d'angle, c'est-à-dire que
les 3 courbes soient en contact aux points $t^max$, et que les tangentes en ces points soient égales.

Sans limiter la généralité, on peut simplifier les choses en imposant $a=1$ et $c$ réel (par exemple négatif). Un autre choix revient à une rotation/homothétie du même dessin.
On remarque que $c=-1$ ne convient pas, dans ce cas, les 3 courbes se croisent au point 0 et le raccord n'est pas lisse.

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