Options Conditionnelles

Wikipedia : Calcul stochastique, Mathématiques financières, Evaluation des produits dérivés

1. Problématique - cas sans actualisation

Offre basée sur les prix de marché avec une durée de validité

On considère le fabriquant d'un produit fini à partir d'une production brute, par exemple une matière première. Ce fabriquant peut s'approvisionner à tout instant $t\geq 0$ au prix de marché $S_t$.

Le prix coûtant $P_t$ d'un produit pour ce fabriquant dépend clairement du prix $S_t$ à la date $t$ où la matière première est achetée. On pose $P_t=f(S_t)$. On suppose dans un premier temps que la fonction $f$ est affine : $f(x)=\lambda x + a$.

On suppose que le fabriquant ne fait aucun stock. Il n'achète la production nécessaire à la réalisation du produit qu'au moment de la signature d'un contrat de vente.

Supposons que le prix $S$ est une martingale (et que le taux d'intérêt sans risque est nul). A l'instant $0$, le fabriquant propose une offre au prix $f(S_0)$. Cette offre est valable jusqu'à l'instant $T$.

Si le client potentiel accepte cette offre à l'instant $T$, pour le fabriquant, l'écart entre le prix de vente et le prix d'achat est $f(S_0)-f(S_T) = \lambda \left(S_0-S_T\right)$.

Client non influencé par le marché

Comme $S$ est une martingale, si le client potentiel signe l'offre indépendamment du marché $S$, alors en moyenne l'écart $S_T-S_0$ est nul.

Client totalement influencé par le marché

Imaginons que le client potentiel prend sa décision en fonction des mouvements du marché. Il ne connait pas exactement la fonction $f$, mais il sait que cette fonction est croissante par rapport au prix de marché.

Le client potentiel peut tirer parti de la validité des offres en adoptant la stratégie suivante :

  • Il signe à l'instant $T$ seulement si le marché n'a pas baissé, c'est à dire si $S_T \geq S_0$.
  • Si le marché a baissé, alors il demande une nouvelle offre basée sur le prix de marché $S_T$, qui sera donc plus intéressante que l'offre initiale basée sur le prix $S_0$. Il prendra alors sa décision à l'instant $2T$ en fonction de l'écart entre $S_{2T}$ et $S_T$, etc.

Il est donc certain de signer à un prix $f(S_{nT})\leq f(S_0)$, pour un certain $n \in I\!\!N$.

La proposition suivante montre qu'en moyenne, ce comportement, asymétrique par rapport au mouvements du marché, crée un manque à gagner pour le fabriquant, en accord avec l'intuition. Le coût de ce manque à gagner s'exprime en fonction du prix d'un call et de la probabilité que le marché monte.

Proposition 1.2

On note $C(K,S_0,T)$ la valeur à l'instant $0$ d'un call européen de maturité $T$, au prix d'exercice $K$ sur le sous-jacent $\left(S_t;t\geq 0\right)$ dont le cours est $S_0$ à l'instant $0$.

L'espérance conditionnelle de l'écart $S_T-S_0$ sachant que le prix de marché à maturité $S_T$ est supérieur au prix initial $S_0$ est donnée par la formule :

(1)
\begin{align} I\!\!E\left[ \left( S_T - S_0 \right) \left|_{S_T\geq S_0}\right. \right] = \frac{C(S_0 ,S_0,T)}{I\!\!P\left( S_T\geq S_0 \right)}. \end{align}
Remarque 1.3

La quantité $\frac{1}{I\!\!P\left( S_T\geq S_0 \right)}$ (proche de 2 pour une durée $T$ courte) peut ici s'interpréter comme un nombre moyen d'offres nécessaires pour signer un contrat : ceci est cohérent avec le coût d'une stratégie de couverture par achat d'options. A chaque offre proposée, le fabriquant pourrait acheter un call pour se prémunir contre une éventuelle hausse du marché (l'option est exercée si le marché monte, i.e. si le client signe). La valeur calculée en proposition 1.1 correspond à un coût moyen de couverture par offre signée.

Client partiellement influencé par le marché

Considérons maintenant que le comportement du client potentiel est seulement partiellement influencé par les mouvements du marché :
On note ${\cal M}=\left\{S_T > S_0 \right\}$ l'événement "le marché monte", et ${\cal S}$ l'événement "l'offre est signée".
On suppose que

  • si le marché baisse (si l'événement ${\cal M }^C$ a lieu), l'offre est signée avec une probabilité $\alpha$, i.e. $I\!\!P \left({\cal S}\left| {\cal M}^C \right.\right) = \alpha$. De plus, sachant ${\cal M}^C$, l'offre est signée indépendamment du prix $S_T$ (i.e. la loi conditionnelle de ${\cal S}$ sachant ${\cal M}^C$ est indépendante de $S_T$).
  • si le marché monte (si l'événement ${\cal M }$ a lieu), l'offre est signée avec une probabilité $\alpha + \delta$, i.e. $I\!\!P \left({\cal S}\left| {\cal M} \right.\right) = \alpha + \delta$. De plus, sachant ${\cal M}$, l'offre est signée indépendamment du prix $S_T$ (i.e. la loi conditionnelle de ${\cal S}$ sachant ${\cal M}$ est indépendante de $S_T$).
Proposition 1.4

L'espérance conditionnelle de l'écart $S_T-S_0$ sachant que l'offre est signée est donnée par la formule :

(3)
\begin{align} I\!\!E\left[ \left( S_T - S_0 \right) e^{- \mu T} \left|_{\cal S}\right. \right] = \frac{\delta C(S_0,S_0,T)}{\delta I\!\!P\left(S_T>S_0\right) + \alpha}. \end{align}
Remarque 1.5

Si $\cal S$ est indépendant de $\cal M$, on a $\delta=0$, i.e. la proposition 1.1.

Si $\alpha=0$ (le client ne signe pas si le marché baisse), on obtient la proposition 1.2.

Application dans le formalisme de Black-Scholes

On se place dans le cadre du modèle classique de Black-Scholes [1], dans lequel le cours d'un actif financier est modélisé par un processus stochastique $\left(S_t;t\geq 0\right)$ appelé mouvement brownien géométrique , dont la loi dépend de deux paramètres :le rendement $\mu$ (supposé nul ici) et la volatilité $\sigma>0$.

Dans ce modèle, les prix du call et du put sont explicites, ici (rendement nul et cas particulier at-the money) :

(6)
\begin{align} C(T,S_0,S_0) = I\!\!E\left[ \left( S_T - S_0 \right)_+ \right] = S_0 \left(2N\left(\frac{ 1 }{2 }\sigma\sqrt{T} \right) - 1\right) = S_0 \left( 1 - 2I\!\!P \left( S_T>S_0 \right) \right), \end{align}

$N$ est la fonction de répartition de la loi normale $N(z)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z e^{-\frac{x^2}{2}}dx$.




http://mathworld.wolfram.com/

http://www.math-info.univ-paris5.fr/smel/cours/mp/mp.html

Bibliography
1. full source reference
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License