John Bonobo, mathématicien freelance
Parcours scientifique
Commerce équitable de risques climatiques et simulations numériques dans un cadre markovien
Equilibrium trading of climate and weather risk and numerical simulation in a Markovian framework
Travail de recherche en postdoctorat sous la direction de Peter Imkeller dans l'équipe de probabilités de l'Institut für Mathematik, Université Humboldt de Berlin (2003)
Principaux thèmes abordés
- Modèles de climat et risques climatiques
- El Niño southern oscillation
- Résonance stochastique
- Marchés financiers incomplets
- Equation différentielles stochastiques rétrogrades
- Formule de Feynman-Kac non-linéaire
- EDP semilinéaires paraboliques
- Simulations numériques
Publications :
A Simple Model for Trading Climate Risk [3]
Equilibrium trading of climate and weather risk and numerical simulation in a Markovian framework [4]
Résumé
On considère un marché financier avec des agents exposés à des risques extérieurs, causés par exemple par des anomalies climatiques à court terme, comme les perturbations de la température de la surface du Pacifique Sud, phénomène bien connu sous le nom d'El Niño. Ces risques ne pouvant être couverts par des investissements dans le marché, nous sommes typiquement dans le cas d'un marché incomplet, et nous introduisons un actif supplémentaire pour couvrir ces risques.
Chaque agent cherche à maximiser son utilité individuelle en investissant dans le marché des capitaux et dans cet actif supplémentaire, en fonction de son exposition au risque. Sous une condition d'équilibre local entre les agents, le prix de marché du risque est déterminé par une équation différentielle stochastique rétrograde, dont la solution peut être approchée numériquement (via le formalisme de Feynman-Kac) en résolvant une EDP semilinéaire parabolique.
Nous avons choisi trois modèles qualitatifs simples pour la temperature de la surface de l'eau, et modèle à deux agents : un pêcheur directement affecté par les variations de cette temperature et une banque insensible à ce risque. En simulant la quantité d'actif supplémentaire échangée, l'utilité optimale et la stratégie optimale d'investissement des agents, nous obtenons un premier aperçu de la dynamique d'un tel marché dans des situations simples.
Présentation "Simple models for trading climate and weather risk"
Algorithme de résolution rapide de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman dégénérée
Logiciel HJBSolver réalisé avec Christophe Berthelot au sein du projet Omega de l'INRIA dans l'équipe de Denis Talay (2002)
Unicité des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman avec frontière irrégulière
Uniqueness to elliptic and parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman with non-smooth boundary
Travail de recherche à l'Institut Elie Cartan de Nancy (2004)
Publications :
Uniqueness to elliptic and parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman equations with non-smooth boundary [2]
Résumé / Abstract
Prépublié sous le titre : Un principe de comparaison fort pour les solutions de viscosité à l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman avec condition de Dirichlet sur une frontière irrégulière et application aux problèmes paraboliques
Dans le cadre de la théorie des solutions de viscosité, on donne une extension du principe de comparaison fort pour l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) avec condition au bord de type Dirichlet au cas de certains domaines irréguliers. En particulier, ce résultat est applicable aux problèmes paraboliques posés dans des domaines cylindriques.
Preprint title : A strong comparison result for viscosity solutions to Hamilton-Jacobi-Bellman equations with Dirichlet condition on a non-smooth boundary and application to parabolic problems
In the framework of viscosity solutions, we give an extension of the strong comparison result for Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations with Dirichlet boundary conditions to the case of some non-smooth domains. In particular, it may be applied to parabolic problems on cylindrical domains.
Gestion optimale de bilan de compagnie d'assurance
Optimal asset-liability management of capitalization contracts with exit option
Thèse de doctorat en mathématiques appliquées (PhD in applied mathematics) [1] soutenue le 6 décembre 2002 à l'université Henri Poincaré Nancy-I devant le jury composé de Guy Barles (rapporteur), Monique Jeanblanc (rapporteur), Bernard Lapeyre (président), Elisabeth Rouy (directeur), Bernard Roynette (directeur) et Denis Talay (examinateur). Mention très honorable avec les félicitations du jury.
Principaux thèmes abordés
- Contrôle optimal stochastique
- Processus stochastiques contrôlés
- Principe de la programmation dynamique)
- Solutions de viscosité de l'équation d'HJB
- Principe de comparaison fort
- Méthodes numériques pour HJB
- Mathématiques financières
- Modélisation d'un contrat d'assurance-vie
- Optimisation
Motivation
Dans le cadre du projet OMEGA (méthodes numériques probabilistes) de l'INRIA et de l'action Amazone (utilisation de processeurs vectoriels pour la simulation financière) du G.I.E Dyade Bull/INRIA, on s'intéresse au problème de la gestion du bilan d'un contrat financier de type assurance-vie émis par une compagnie, pour lequel il semble intéressant et apparement novateur d'exploiter la richesse des modèles stochastiques (dans lesquels le cours d'une action est modélisé par un processus de diffusion aléatoire), mise en évidence par les développements récents de la Finance, en ce qui concerne l'analyse et l'évaluation de cours d'actifs contingents.
Résumé
Sur un modèle simple de marché financier, on construit un modèle de contrat d'assurance, sur la base d'une étude préalable de Mireille Bossy, Nathalie Pistre et Denis Talay (à télécharger au format Postscript compressé), et l'on cherche à calculer la stratégie optimale de gestion du portefeuille d'actions et d'obligations d'une compagnie proposant ce contrat ainsi que la valeur optimale qu'elle peut espérer atteindre par le choix de cette stratégie, étant données certaines contraintes : principalement, on suppose que le client qui a souscrit ce contrat peut le quitter au moment où il le décide, et percevoir une somme qui dépend des bénéfices de la compagnie sur ses placements financiers. La présence de cette option de retrait anticipé empèche l'application des méthodes de couverture habituelles.
On montre en premier lieu un résultat préliminaire qui assure la convergence des schémas classiques d'approximation numérique de ce type de problème : en utilisant des techniques similaires à celles utilisées par Guy Barles et Elisabeth Rouy dans leurs travaux récents sur le problème de Dirichlet généralisé au cas d'EDP non-linéaires du second ordre dégénérées, on montre que, sous des hypothèses essentiellement techniques de régularité des coefficients des équations introduites, la fonction valeur de ce problème de contrôle optimal est l'unique solution de viscosité de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman associée.
Afin d'éviter le recours à des méthodes de calcul probabilistes (de type Monté-Carlo) trop gourmandes en temps de calcul, on souhaite utiliser une méthode déterministe (de type différences finies). Cependant pour ce type de problème où la variance dépend fortement de la stratégie choisie, un schéma aux différences finies classique (calcul à partir des plus proches voisins sur une grille de discrétisation) peut ne pas être efficace (en particulier si la matrice de covariance ne satisfait pas l'hypothèse dite de "diagonale dominante"). En se basant sur des idées de Harold J. Kushner, on a mis au point un algorithme de calcul de type diiférences finies généralisées (où interviennent des points non-immédiatement voisins sur la grille).
En collaboration avec Christophe Berthelot de l'INRIA Sophia Antipolis, nous avons programmé et mis en oeuvre cet algorithme rapide qui permet d'approcher la solution d'une large classe d'équation d'HJB avec condition au bord de type Dirichlet.
Pour le plaisir, ci-dessous quelques illustrations des résultats obtenus, qui permettent de cartographier précisemment stratégie optimale de gestion du portefeuille de la compagnie.
Références
1. Gestion optimale de bilan de compagnie d'assurance, Sébastien Chaumont, Thèse de doctorat en mathématiques appliquées, Université Henri Poincaré Nancy-I (2002)
2. Uniqueness to elliptic and parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman equations with non-smooth boundary, Sébastien Chaumont, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (CRAS) - Series I - Mathematics 339, 8 (2004) 555-560
3. A Simple Model for Trading Climate Risk, Sébastien Chaumont, Ulrich Horst, Peter Imkeller, Matthias Müller, Vierteljahrshefte zur Wirtschaftsforschung (VIW) 74, 2 (2005) 175-195
4. Equilibrium trading of climate and weather risk and numerical simulation in a Markovian framework, Sébastien Chaumont, Peter Imkeller, Matthias Müller, Stochastic Environmental Research and Risk Assessment (SERRA) 20, 3 (2006) 184-205 (Earth and Environmental Science, Springer Berlin / Heidelberg)