Une interpretation du Temps Local Brownien en Finance

Wikipedia : Calcul stochastique, Mathématiques financières, Evaluation des produits dérivés

1. Problématique

Un revenu aléatoire à une date future

On suppose que l'on possède une option d'achat, ou call, au prix d'exercice $K$, à une date future $T$ (incertaine ou non), d'un produit financier, dont le prix $X$ sera modélisé par un processus stochastique.

(1)
\begin{align} dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t)dW_t \end{align}

A la date $T$, si le prix $X_T$ est supérieur à $K$, l'exercice de l'option permet d'acheter le produit au prix $K$ puis de le revendre au prix $X_T$ afin de générer un profit $X_T - K >0$, dans le cas contraire, il n'y a pas d'intérêt à exercer l'option, et pas de profit.

Autrement dit, on suppose que l'on a revenu aléatoire $(X_T - K)^+$ à la date $T$ (où $(x)^+$ désigne la partie positive de $x$). Ce cas peut également s'interpréter comme le revenu généré par un usine (que l'on pourra décider de faire tourner ou pas à la date $T$) qui permet de fabriquer une matière première au coût $K$ - on génère ainsi un profit optionnel en ayant la possibilité de vendre la production au prix $X_T$ sur le marché.

Comment sécuriser ce revenu possiblement très incertain ?

On définit préalablement la notion de portefeuille autofinancé.

Pour simplifier l'exposé, on suppose des taux d'intérêt nuls. A chaque instant, la valeur d'un portefeuille composé de $q^0_t$ euros et $q^1_t$ unités du produit $X$ est donnée par :

(2)
\begin{align} V_t = q^0_t + q^1_t X_t\mbox{ pour tout }t \end{align}

Cette valeur est la somme qu'on obtiendrait si l'on fermait la position immédiatement.
Ce portefeuille est dit autofinancé si aucune somme extérieure n'est injectée ou retirée dans le portefeuille au cours du temps, autrement dit si la variation du portefeuille ne provient que de la variation du prix $X$, i.e. s'il vérifie l'équation :

(3)
\begin{align} dV_t = q^1_t d X_t\mbox{ pour tout }t \end{align}

ou de manière équivalente

(4)
\begin{align} V_t = V_0 + \int_0^t q^1_s d X_s \mbox{ pour tout }t \end{align}

En combinant avec l'équation (), on voit que la condition d'autofinancement détermine naturellement la quantité $q^0_t$ en fonction de $q^1_t$ :

(5)
\begin{align} q^0_t = V_0 - q^1_t X_t + \int_0^t q^1_s d X_s \mbox{ pour tout }t \end{align}

L'idée est de faire une couverture financière, c'est-à-dire de construire un portefeuille autofinancé $V$, typiquement en vendant à l'avance le produit $X$,

Sous des hypothèses assez faibles sur la diffusion $X$, le marché est complet et il existe une (et une seule) stratégie autofinancée qui permet d'annuler totalement le risque : le delta-hedging (couverture en delta).

Soit $h(t,x)$ le prix à l'instant $t$ d'un call de maturité $T$ de strike $K$ et de sous-jacent $x$.

Le portefeuille $V_t$ défini par

la quantité $q^0_t = - h(0,X_0)$

le cash-flow $q^1_t = - \frac{\partial h}{\partial x}(t,X_t)$

est autofinancé et compense exactement le revenu incertain, i.e.

(6)
\begin{equation} (X_T-K)^+ + V_T = 0 \end{equation}

Il existe cependant une autre stratégie autofinancée, beaucoup plus simple que le delta-hedging, qui permet dans une certaine mesure d'éviter des pertes aléatoires.

On peut l'appeler "stratégie intrinsèque", dans le sens où elle consiste simplement à prendre continûment la "position intrinsèque" :

$q^0_t = 1_{ \{X_t\geq K\} }$

La formule de Tanaka nous permet de calculer le cash-flow $q^1_t$ tel que cette stratégie soit autofinancée et compense exactement le revenu incertain. En effet, on a directement :

(10)
\begin{align} (X_T-K)^+ = (X_0-K)^+ + \int_0^T 1_{ \{X_t\geq K\} } dX_t +\frac{1}{2}L^K_T \end{align}

soit

(11)
\begin{align} q^1_t = \frac{1}{2}L^K_T \end{align}

Le processus $L^K_{t}$ est le temps local au niveau $K$ du processus $X$ (notion inventée par Paul Lévy - une mesure renormalisée du temps passé par $X$ au voisinage du point $K$ jusqu'à l'instant $t$), défini de manière classique par l'équation :

(12)
\begin{align} L^K_{t} = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac1{2 \varepsilon} | \{ s \in [0, t] | X_{s} \in (- \varepsilon, + \varepsilon) \} |. \end{align}

En particulier, le cash flow $q^1_t$ est donc un processus positif et croissant (non strictement) : la stratégie intrinsèque garantit la valeur intrinsèque.

Bibliography
1. full source reference
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