Wikipedia : Fractale, Théorie du Chaos, Système dynamique, Liste de fractales par dimension de Hausdorff, Ensemble de Mandelbrot
Cette section rassemble une petite collection de pages abordant certaines questions sur les fractales - notion qu'on ne cherchera pas ici à caractériser de manière générale.
Quelques aspects théoriques
On s'intéresse notamment aux ensembles, les plus célèbres sans doute, de Mandelbrot et Julia. Pour ceux qui connaissent (ou veulent découvrir) les nombres complexes1, on aborde
qui permet de décrire de manière fine
Une chose est fascinante dans ces ensembles, c'est à quel point leur formulation mathématique est ridiculement simple, mais leur forme est infiniment compliquée, au delà du dessinable.
Quelques algorithmes de représentation
La beauté platonique des concepts est une chose, mais ici notre motivation est plutôt un désir artistique, de créer concrètement de belles images. Or, si la construction théorique d'une fractale est peut être simple (comme la répétition d'un motif simple), elle nécessite quand même l'idée d'infini ; autrement dit d'un point de vue numérique (sans chercher une précision infinie), elle nécessite de très grands nombres.
Typiquement, tracer une fractale demande un très grand nombre de calcul.
C'est donc là qu'il est intéressant d'être malin et d'exploiter certains résultats théoriques (d'autres directions de recherche seraient l'optimisation de code, l'emploi massif d'ordinateurs, …). Dans cet esprit, on détaillera quelques algorithmes de réprésentations de fractales :
- Buddhabrot et Anti-Buddhabrot : densité des orbites sous l'itération d'une fonction complexe (avec source en langage Python)
Notons que toutes ces fractales précédemment évoquées sont planes, en 2 dimensions. Dans une considération artistique, une question intéressante, encore très largement ouverte d'un point de vue mathématique, est :
Comment obtenir des fractales "aussi belles" mais en 3 dimensions, en volume, en relief ?
En fait, il y a de nombreuses réponses, mais peut-être qu'aucune ne possède la "perfection canonique" des ensembles de Mandelbrot et Julia de dimension paire. On s'intéresse à quelques pistes concrètes, en détaillant quelques algorithmes, dans le même esprit de simplicité.
- Superposition d'ensembles de Julia (avec source en langage Python)
- Dendrite tridimensionnelle (avec source en langage Python)
Quelques pages intéressantes sur la toile (galeries d'images, vidéos, …)
Fractales planes
- Mathematical Imagery by Jos Leys
- Fractal animations by Jock Cooper
- Fractals, Chaos by Paul Bourke
- Volodia Nekrashevych's picture gallery : dendrites et graphes de Schreier
- Les galeries d'Arnaud Chéritat : objets fractals et mathématiques, dynamique holomorphe et analyse complexe , animations
Fractales multidimensionnelles
- Paul Nylander's pages on Fractals and Hypercomplex fractals, and his blog on Fractals
- The mystery of the real 3D Mandelbrot fractal, and The unravelling of the real 3D Mandelbulb, by Daniel White : page 1, page 2
- Quarternion Julia fractals by Paul Bourke