Fractales - La tour d'ivoire de John Bonobo

Fractales

Wikipedia : Fractale, Théorie du Chaos, Système dynamique, Liste de fractales par dimension de Hausdorff, Ensemble de Mandelbrot

Cette section rassemble une petite collection de pages abordant certaines questions sur les fractales - notion qu'on ne cherchera pas ici à caractériser de manière générale.

Quelques aspects théoriques

On s'intéresse notamment aux ensembles, les plus célèbres sans doute, de Mandelbrot et Julia. Pour ceux qui connaissent (ou veulent découvrir) les nombres complexes¹, on aborde

la théorie de l'itération des fonction complexes,

qui permet de décrire de manière fine

la dynamique sous-jacente et les propriétés des ensembles de Mandelbrot et Julia.

Une chose est fascinante dans ces ensembles, c'est à quel point leur formulation mathématique est ridiculement simple, mais leur forme est infiniment compliquée, au delà du dessinable.

Quelques algorithmes de représentation

La beauté platonique des concepts est une chose, mais ici notre motivation est plutôt un désir artistique, de créer concrètement de belles images. Or, si la construction théorique d'une fractale est peut être simple (comme la répétition d'un motif simple), elle nécessite quand même l'idée d'infini ; autrement dit d'un point de vue numérique (sans chercher une précision infinie), elle nécessite de très grands nombres.

Typiquement, tracer une fractale demande un très grand nombre de calcul.

C'est donc là qu'il est intéressant d'être malin et d'exploiter certains résultats théoriques (d'autres directions de recherche seraient l'optimisation de code, l'emploi massif d'ordinateurs, …). Dans cet esprit, on détaillera quelques algorithmes de réprésentations de fractales :

Algorithme d'itération inverse pour les ensembles de Julia

Buddhabrot et Anti-Buddhabrot : densité des orbites sous l'itération d'une fonction complexe (avec source en langage Python)

Notons que toutes ces fractales précédemment évoquées sont planes, en 2 dimensions. Dans une considération artistique, une question intéressante, encore très largement ouverte d'un point de vue mathématique, est :

Comment obtenir des fractales "aussi belles" mais en 3 dimensions, en volume, en relief ?

En fait, il y a de nombreuses réponses, mais peut-être qu'aucune ne possède la "perfection canonique" des ensembles de Mandelbrot et Julia de dimension paire. On s'intéresse à quelques pistes concrètes, en détaillant quelques algorithmes, dans le même esprit de simplicité.