Equations aux dérivées partielles

Wikipedia : Equation aux dérivées partielles

Une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation fonctionnelle, c'est-à-dire une équation dont la solution n'est pas un nombre (ou un ensemble de nombres) mais une fonction (ou un ensemble de fonction).

On parle d'équation différentielle (ED) lorsque la fonction cherchée ne dépend que d'une variable. Une équation différentielle exprime une lien entre les dérivées d'une fonction. Par exemple,

(1)
\begin{align} f'(x)=f(x) \mbox{ pour tout }x\in I\!\!R \end{align}

est une équation différentielle dont la solution est l'ensemble des fonctions

(2)
\begin{align} f^\lambda:x\rightarrow \lambda.\exp(x), \end{align}

pour chaque $\lambda\in I\!\!R$, la fonction $f^\lambda$ est solution de (1).

Pour obtenir l'unicité à cette équation, il faut ajouter une condition supplémentaire. Une condition classique est la condition de Dirichlet : on spécifie la valeur de la solution en un point. Par exemple, en ajoutant la condition

(3)
\begin{equation} f(0)=2, \end{equation}

le système différentiel (1)-(3) admet l'unique solution suivante :

(4)
\begin{align} f(x)=2 \exp(x) \mbox{ pour tout }x\in I\!\!R. \end{align}

On parle d'EDP dans le cas de fonctions qui dépendent de plusieurs variables, une EDP exprime un lien entre les dérivées partielles d'une fonction. Par exemple,

(5)
\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) \mbox{ pour tout }(x,y)\in I\!\!R^2 \end{align}

admet comme solutions les fonctions

(6)
\begin{align} f^{\lambda,C}:x\rightarrow \lambda.\exp(x+y)+C, \end{align}

pour chaque $\lambda\in I\!\!R$ et $C\in I\!\!R$. Dans manière similaire ici, pour obtenir l'unicité à (5) il faut spécifier la valeur de la solution en deux points de $I\!\!R^2$. Par exemple, sous la condition supplémentaire

(7)
\begin{align} f(0,0)=2\mbox{ et }f(1,1)=\exp(2)+1, \end{align}

le système différentiel (5)-(7) admet l'unique solution suivante :

(8)
\begin{align} f(x,y)=\exp(x+y) +1 \mbox{ pour tout }(x,y)\in I\!\!R^2. \end{align}
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